domingo, 3 de mayo de 2015

LOS VECTORES


INSTITUTO TECNOLÓGICO

            SUPERIOR

´´ CENTRAL TÉCNICO´´          



NOMBRE: Wladimir Amaguaña

CURSO: 4D ´1´

TEMA:  Los Vectores 

DOCENTE: Ing. Julio Calvopiña H., MSc 

AÑO LECTIVO:

2014-2015 
Los Vectores 


En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una magnitud física definida por un punto del espacio donde se mide dicha magnitud, además de un módulo (o longitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).

En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o en el espacio .

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

Definición

Se llama vector de dimensión n \, a una tupla de n \, números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión n \, se representa como \mathbb{R}^n (formado mediante el producto cartesiano).
Así, un vector \scriptstyle v perteneciente a un espacio \mathbb{R}^n se representa como:
(left)v = (a_1, a_2, a_3, \dots, a_n), donde v \in \mathbb{R}^n
Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional \mathbb{R}^3 ó bidimensional \mathbb{R}^2).
Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:
  • módulo: la longitud del segmento
  • dirección: la orientación de la recta
  • sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta
En inglés, la palabra "direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.
Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas, por ejemplo AB, que indican su origen y extremo respectivamente.
\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) \,

Características de un vector

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se representa:
\vec{V} = \boldsymbol{V} = (V_x, V_y)
siendo sus coordenadas:
V_x, \; V_y
Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:
\vec{V} = \vec{V_x} + \vec{V_y}

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:
\vec{V} = \boldsymbol{V} = (V_x, V_y, V_z)
siendo sus coordenadas:
V_x, \; V_y, \; V_z

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar la recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.


El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.


El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.


El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.


El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.


Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

Nombre
Dirección
Sentido
Módulo
Punto de aplicación

Magnitudes vectoriales


Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares.
Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.
Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo 
Ejemplos
  • \mathbf A, \ \mathbf a,\ \boldsymbol{\omega}, ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: |\mathbf A|, \ |\mathbf a|,\ |\boldsymbol{\omega}|, ...
  • En los textos manuscritos se escribe: \vec A, \ \vec a,\ \vec{\omega},... para los vectores y |\vec A|, \ |\vec a|,\ |\vec {\omega}|,... o A, \ a,\ {\omega},... para los módulos.
Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma  \mathbf A = \overrightarrow{MN}, \mathbf B = \overrightarrow{OP} \,, ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo \mathbf{\hat{u}}, \mathbf{\hat{v}}.

Clasificación de vectores

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
  • Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
  • Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
  • Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.
Podemos referirnos también a:
  • Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
  • Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares por que forman un ángulo entre ellas.
  • Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.1 En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.
  • Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
  • Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.
  • Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Componentes de un vector

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por  \mathbf{i} \,,  \mathbf{j} ,  \mathbf{k} , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
\mathbf{a} = (a_x,a_y,a_z)
o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será
\mathbf{a} = a_x \, \mathbf{i}+ a_y \, \mathbf{j} + a_z \, \mathbf{k}
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices(tales como el cambio de base), del modo siguiente:
\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{a} = [ a_x\ a_y\ a_z ]
Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:
{\mathbf i} = [1\ 0\ 0],\ {\mathbf j} = [0\ 1\ 0],\ {\mathbf k} = [0\ 0\ 1]
El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unas componentes respecto a dicha base. Dado un vector sólo existen un número finito de componentes diferentes de cero.

Representación gráfica de los vectores

Aunque hay quien no recomienda el uso de gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:
  • Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremo).
  • La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.
  • El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.
  • Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.
  • Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.
Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:

Suma de vectores

La definición suma de vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.
4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.
Cambio de base vectorial


En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en e
spacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación
 tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. 
Sea un vector \scriptstyle \mathbf A expresado en un sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) con una
 base vectorial \mathcal{B} asociada definida por los versores \left( \mathbf i, \mathbf j,\mathbf k\, \right); esto es,
\mathbf A=\begin{bmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{bmatrix}_{\mathcal{B}}
Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo,
 de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial \mathcal{B}' 
asociada definida por los versores \left( \mathbf i', \mathbf j',\mathbf k'\, \right). Las componentes del vector \mathbf A \, en esta nueva base vectorial serán:
\mathbf A=\begin{bmatrix} A'_x \\ A'_y \\ A'_z \end{bmatrix}_{\mathcal{B}'}
La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un 
operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):
\mathbb R \, \mathbf A_{\mathcal{B}} = \mathbf A_{\mathcal{B}'}
que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.
Ejemplo
En el caso simple en el que el giro tenga magnitud \theta\, alrededor del eje z, tendremos la transformación:
\mathbb R = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, 
obtendremos la expresión del vector \mathbf A \, en la nueva base vectorial:
\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta& 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{bmatrix}_{\mathcal{B}} = \begin{bmatrix} A'_x \\ A'_y \\ A'_z \end{bmatrix}_{\mathcal{B}'}
siendo
A'_x = A_x \cos\theta + A_y\sin\theta\,
A'_y = -A_x \sin\theta + A_y\cos\theta\,
A'_z = A_z \,
las componentes del vector en la nueva base vectorial.


Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales
No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico.
 Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes 
observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.
En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares,
 junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes
 tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición
 interviene elproducto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.
En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes
 observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales.
 Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores O\, y \bar{O} deben relacionarse de
 acuerdo con la siguiente relación:

Donde  son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como
 el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad 
no son magnitudes vectoriales sino tensoriales..

Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector

 Vídeo relacionado sobre el tema :

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